Calculus in locally convex spaces Pdf

Knygoje aprašomos neapgręžiamos vietiškai iškilios erdvės .
Metrinėse erdbėse su neapgręžiamomis metrikomis tiek priekinis, tiek atbulinis lietimas apreiškia neatskiriančias topologes. Tiek priekiniam,
tiek atbuliniam artėjimui ribos paprastai bus nevienareikšmės. Padėtį
taisome su Koši sekomis ar filtrais. Jiems jau gautume vienareikšmes viršūnes, jeigu dirbtume prastintoje erdvėje. Tam paimame apgręžiamą metriką kuri sukirstų paimtą metriką su jos priešingą. Sakysime kad metrika yra atskirianti jeigu jos apgręžiama metrika atskiria erdvės taškus. Tokiose erdvėse viršūnė Koši sekai ar filtrui būs ne daugiau vienos. Metrinė erdvė pribaigta Koši sekoms jeigu bet kuri Koši seka turi višūnę. Koši filtrai naudojami pribaigtų uniforminių erdvių apreiškimui.
R-tiesioje erdvėje dirbame su (+R)-homogeninėmis normomis. Gautos 0-aplinkos bus iškilios aibės bet nebūtinai sau priešinės, todėl priešingo vektoriaus priskyrimas nebus lydus. Tokią erdvę ir toliau vadinsime vietiškai iškilia erdve. Skaliarų tiesėje pasirenkame vienpusę normą rV0. Jai lydžius virš paimtos vietiškai iškilios erdvės tiesius atvaizdavimus pavadiname vienpusėmis tiesiomis formomis. Atskiriančioje pribaigtoje vietiškai iškilioje erdvėje tinka Mozūro tiorema apie iškilios uždarios aibės atskyrimą vienpusių tiesių formų apreikštomis puserdvėmis.Tai leidžia naudotis silpnąja ir Makio topologėmis. Tinka įprastinių vietiškai iškilių erdvių analyzė. Pavyzdžiu galėtų būti neapgręžiamos Hilberto erdvės. Galime skaičiuoti funkčių integralus ir jų išvestines, turime diferenčialių lygčių tiorės gal ir nežymų išplėtimą. Man įdomesnis nevienareikšmių funkčių su aprėžtomis reikšmių aibėmis f(t) Rimano integralai, gal būt ir tokių funkčių išvestinės. Tokių matematinių tiorių laukia ne tik ekonomistai bet ir fyzikai susidūrę su neapgręžiamo laiko sunkumais.

We describe nonselfopposed locally convex spaces. The nonselfopposed metrics usually defines nonseparating topologies both for forward or backward adherences. Therefore the topological limits are manyvalued. The situation is repaired with Cauchy sequences or filters. For taken metric we define selfopposed metric wich is upper boundary of taken metric with its opposed one. The nonselfopposed metric is separating points if its selfopposed metric so is. For a separating metric space the vertex of Cauchy sequence could be only unique. In complete space such vertex always exists. With Cauchy filters we define the complete uniform spaces.
In R-linear space we work only with (R+)-homogenic norms. The neigborhoods of origin point haven't an opposite points (-x), therefore an opposition isn't continuous. The opposite vector (-x) is produced only from the underlying Abel group.
Such uniform space we again shall call locally convex one. In scalar line R we choose a unilateral norm rV0. The continuous mappings to such scalar space will be called unilateral linear forms. They compound the dual space, In separating complete locally convex space is true Mazur heorem about closed convex sets provision with intersection of closed halfspaces. This allows to define a weak topology and Mackey topology. Further we can apply ordinary analysis of locally comvex spaces. Nonselfopposed Hilbert spaces can be as interesting example.
We get the usual theory of integrals and derivatives in nonselfopposed locally convex spaces. More interesting will be Riemann integrals of multivalued functions with bounded sets of values f(t). Then we can deduce also the notion of derivative for such multivalued functions. Mathematical theory of nonselfopposed locally convex spaces could be applied in physics or economics to describe the properties of nonreversible time.

Gintaras VALIUKEVIČIUS
2025 m. balandžio 7 d.